৩
যদি \cos^{-1}x+\cos^{-1}y+\cos^{-1}z=\pi হয়, তবে প্রমাণ কর যে x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=1।
If \cos^{-1}x+\cos^{-1}y+\cos^{-1}z=\pi, prove that x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=1.
বিপরীত ত্রিকোণমিতি / Inverse trig.
ধরি A=\cos^{-1}x,\ B=\cos^{-1}y,\ C=\cos^{-1}z; তাহলে A+B+C=\pi এবং \cos A=x ইত্যাদি।Let A=\cos^{-1}x,\ B=\cos^{-1}y,\ C=\cos^{-1}z; then A+B+C=\pi with \cos A=x etc.
C=\pi-(A+B)\Rightarrow \cos C=-\cos(A+B)
z=-(xy-\sin A\sin B)\Rightarrow \sin A\sin B=z+xy
উভয় পক্ষ বর্গ করে: (1-x^{2})(1-y^{2})=(z+xy)^{2}Squaring both sides: (1-x^{2})(1-y^{2})=(z+xy)^{2}
1-x^{2}-y^{2}+x^{2}y^{2}=z^{2}+2xyz+x^{2}y^{2}
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=1 (প্রমাণিত / Proved)